Wiskunde is enige synthetische kennis a priori.

In zijn Kritiek van de zuivere rede toont Kant aan dat wiskundige oordelen zowel synthetisch als analytisch kunnen zijn en dat dit de filosofen tot dusver ontgaan was. Vóór Kant betwiste men niet dat wiskundige oordelen altijd a priori zijn en dus niet empirisch, maar men ging ervan uit dat alle wiskundige oordelen analytisch zijn. Als Kant na de verschijning van de Kritiek vaststelt dat zijn redenering niet begrepen wordt, schrijft hij zijn Prolegomena waarin hij het bewijs aan de hand van de optelling 7+5=12 als volgt verduidelijkt:

Men zou aanvankelijk wel denken dat de uitspraak 7+5=12 zuiver analytisch is en volgens de wet van de tegenspraak uit het begrip van de som van 7 en 5, volgt. Maar bij nadere beschouwing vinden we dat het begrip van de som van 7 en 5 slechts de vereniging van beide getallen in één getal bevat, zonder dat daardoor ook maar in het minst gedacht wordt welk dat ene getal is. Immers het begrip 12 wordt nog niet gedacht als ik alleen maar de vereniging van 5 en 7 denk, en hoe lang ik het begrip van zo’n mogelijke som ook analyseer, ik zal de 12 daarin niet aantreffen. Je moet boven dit begrip uitgaan door de hulp van de aanschouwing in te roepen die met één van beide getallen correspondeert, bijvoorbeeld je 5 vingers, of 5 punten, en stuk voor stuk de eenheden van de in aanschouwing gegeven 5 aan het begrip 7 toevoegen. Dat 5 aan 7 moest worden toegevoegd, heb ik weliswaar in het begrip van de som 7+5 gedacht, maar niet dat die som gelijk is aan het getal 12. De rekenkundige uitspraak is dus altijd synthetisch en dat wordt nog duidelijker als men wat grotere getallen neemt, omdat men dan helder inziet dat hoe we onze begrippen ook wenden of keren, we de som alleen door analyse van onze begrippen, zonder hulp van de aanschouwing, nooit zouden kunnen vinden.

Met dit voorbeeld toont Kant duidelijk aan dat, in tegenstelling tot wat men tot dan toe dacht, wiskundige oordelen synthetisch zijn. De optelling 7+5=12 geeft niet slechts een verklaring van kennis die reeds aanwezig is in het begrip van de som 7+5 (analyse) maar brengt ons de uitgebreide kennis (synthese) dat deze som gelijk is aan 12. Een optelling is dus een synthetisch oordeel a priori, namelijk een oordeel waarmee we louter steunend op ons verstand (a priori) onze kennis kunnen uitbreiden (synthese). Als leek kunnen we de bedenking maken dat ‘de hulp van de aanschouwing inroepen’ in tegenstrijd is met de term a-priori die juist inhoudt dat we enkel op ons verstand mogen steunen. Terwijl de ‘optelling 7+5=12’ maar lukt als we bijv. 5 vingers (of 5 fictieve objecten in onze verbeelding) één voor één aanschouwen en telkens 1 toevoegen aan 7. Betekent ‘de hulp van de aanschouwing inroepen’ dan niet dat we naast ons verstand ook op onze ervaring beroep doen? Immers als we objecten kunnen aanschouwen, ook al is het fictief in onze verbeelding, wil dit zeggen dat we ooit via onze ervaring het onderscheid tussen onszelf (subject) en de wereld rondom ons (objecten) hebben leren maken. Dit is één van de eerste leerfasen die we als baby doormaken en hierover is er geen discussie.

Bovenstaande beschouwing leert ons dat we de term a priori (voorafgaand aan de ervaring) niet mogen opvatten als ‘zonder gebruik te maken van enige ervaring’. Zolang de waarheid van het oordeel dat we vormen onafhankelijk blijft van de ervaring waarop we beroep doen, blijven we spreken van een a-priori oordeel. Deze beschouwing was voor Kant zo belangrijk dat hij de inleiding van zijn Kritiek ermee begint. Hij schrijft namelijk:

Er kan geen twijfel over bestaan dat al onze kennis begint met ervaring. Want hoe zou ons kenvermogen tot activiteit kunnen worden gewekt, als dat niet gebeurde doordat objecten onze zintuigen beroeren. … Hoewel al onze kennis begint met ervaring, ontspringt daarom nog niet alle kennis uit de ervaring. Want het zou heel goed kunnen dat zelfs onze ervaringskennis is samengesteld uit wat we door middel van indrukken ontvangen en wat ons eigen kenvermogen uit zichzelf toevoegt, een toevoeging die we pas van het ruwe materiaal kunnen onderscheiden als langdurige oefening ons in staat heeft gesteld haar te onderscheiden en af te zonderen. Het is dan ook een vraag, die in elk geval nader onderzoek vergt, of er zulke van de ervaring en zelfs van alle zintuiglijke indrukken onafhankelijke kennis bestaat? Zulke kennis noemt men a-priori en men onderscheidt haar van empirische kennis, die voortkomt uit bronnen a-posteriori en wel uit de ervaring.

Het aantonen van de mogelijkheid van synthetische oordelen a priori in de wiskunde was een belangrijke vernieuwing. Voor Kant was het een eerste stap in zijn opzet om het bestaan van deze oordelen ook in de fysica en metafysica aan te tonen. Maar sedert de evolutieleer van Darwin, aanvaarden de meeste wetenschappers dat we over onze natuur geen exacte kennis maar slechts wetenschappelijk relevante kennis kunnen verwerven en over het bovennatuurlijke (metafysica) geen wetenschappelijk relevante kennis.

Kant leefde vóór Darwin en kon niet weten dat...

Kant stelde terecht dat het vermogen om indrukken die we via de zintuigen ontvangen, om te zetten naar betekenisvolle beelden over de realiteit, aantoont dat de drager van dit vermogen kennis heeft over de realiteit, die voorafgaat aan ervaringen tijdens zijn leven.
En vermits Kant vóór Darwin leefde, meende hij dat kennis die voorafgaat aan ervaringen tijdens ons leven geen empirische kennis kan zijn en dus a priori kennis. Maar sedert de evolutietheorie weten we dat onze ervaringskennis altijd een gevolg is van ofwel eigen ervaringen of ervaringen van voorouders, die hebben geleid tot overgeërfde vermogens. Wat betekent dat het bewijs waarmee Kant aantoonde dat synthetische oordelen a priori ook in de biologie/fysica bestaan, niet langer geldig is.